Clase Interactiva: Números Complejos y Fasores

Comprendiendo los Números Complejos

La representación espacial es clave para entender las operaciones.

Forma Rectangular

$$ z = x + jy $$

Ubicamos un punto moviéndonos x en el eje horizontal (real) y y en el vertical (imaginario).

Ejemplo: $ z = 3 + j4 $ significa avanzar 3 unidades a la derecha y 4 hacia arriba. Ideal para sumar: $ (1+j2) + (3+j4) = 4 + j6 $.

Forma Polar

$$ z = r \angle \phi $$

Ubicamos un punto midiendo una distancia r desde el centro, girando un ángulo $\phi$.

Ejemplo: $ z = 5 \angle 53.1^\circ $. Longitud de 5, inclinado 53.1°. Ideal para multiplicar: $ (2\angle10^\circ) \times (3\angle20^\circ) = 6\angle30^\circ $.

Conversiones entre ambas formas

Rectangular a Polar (Teorema de Pitágoras)

Magnitud: $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Ángulo: $$ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$

*Precaución: Sumar 180° si 'x' es negativo (2do y 3er cuadrante).

Polar a Rectangular (Trigonometría)

Parte Real: $$ x = r \cos(\phi) $$

Parte Imaginaria: $$ y = r \sin(\phi) $$

Operaciones y Propiedades Especiales

Resta (Rectangular)

Se restan las partes reales y las partes imaginarias por separado.

$$ z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + j(y_1 - y_2) $$

Ejemplo:
$ (5 + j8) - (2 + j3) = \mathbf{3 + j5} $

División (Polar)

Se dividen las magnitudes y se restan los ángulos (numerador menos denominador).

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \angle (\phi_1 - \phi_2) $$

Ejemplo:
$ \frac{10 \angle 60^\circ}{2 \angle 15^\circ} = \mathbf{5 \angle 45^\circ} $

Inverso (1/z)

Se invierte la magnitud (1/r) y se le cambia el signo al ángulo.

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \angle -\phi $$

Ejemplo:
$ \frac{1}{4 \angle 30^\circ} = \mathbf{0.25 \angle -30^\circ} $

Raíz Cuadrada

Se extrae la raíz de la magnitud y se divide el ángulo para dos.

$$ \sqrt{z} = \sqrt{r} \angle \left(\frac{\phi}{2}\right) $$

Ejemplo:
$ \sqrt{16 \angle 60^\circ} = \mathbf{4 \angle 30^\circ} $

Conjugado (*)

Es el reflejo del número como un espejo en el eje horizontal. Se le cambia el signo a la parte imaginaria (si es rectangular) o al ángulo (si es polar).

$$ z^* = x - jy \quad \text{o} \quad z^* = r \angle -\phi $$

Ejemplo Rectangular:
$ (3 + j4)^* = \mathbf{3 - j4} $

Ejemplo Polar:
$ (5 \angle 53^\circ)^* = \mathbf{5 \angle -53^\circ} $

Cálculo en el Dominio Fasorial

El gran poder de los fasores radica en transformar el cálculo (ecuaciones íntegro-diferenciales) en álgebra sencilla. Observa esta equivalencia fundamental:

Derivada

Derivar en el tiempo equivale a multiplicar por $ j\omega $ en el dominio fasorial.

$$ \frac{dv}{dt} \iff j\omega \mathbf{V} $$

Ejemplo: Si $ \mathbf{V} = 5\angle0^\circ $ y $ \omega=2 $.
Su derivada fasorial es: $ j2 \times (5\angle0^\circ) = \mathbf{10\angle90^\circ} $

Integral

Integrar en el tiempo equivale a dividir para $ j\omega $ en el dominio fasorial.

$$ \int v \, dt \iff \frac{\mathbf{V}}{j\omega} $$

Ejemplo: Usando los mismos datos, su integral sería: $ \frac{5\angle0^\circ}{j2} = -j2.5 = \mathbf{2.5\angle-90^\circ} $

Identidades Trigonométricas Clave

Para convertir funciones senoidales a fasores, siempre buscamos tener un coseno positivo. Usa estas reglas para ajustar tu ecuación antes de extraer el fasor:

$$ \pm \sin(\omega t) = \cos(\omega t \mp 90^\circ) $$

$$ -\cos(\omega t) = \cos(\omega t \pm 180^\circ) $$

Resolución Paso a Paso

Abre cada ejercicio para ver el desarrollo detallado con su interpretación gráfica espacial.

Evalúe el siguiente número complejo paso a paso:

$$ \frac{10 \angle -30^\circ + (3 - j4)}{(2 + j4)(3 - j5)^*} $$

Paso 1: Resolver el Conjugado (*)

El conjugado cambia el signo de la parte imaginaria. Por tanto, el término del denominador $(3 - j5)^*$ se convierte en $(3 + j5)$.

Paso 2: Numerador (Convertir y Sumar)

Para sumar, pasamos $10 \angle -30^\circ$ a rectangular:

$ x = 10 \cos(-30^\circ) = 8.66 $

$ y = 10 \sin(-30^\circ) = -5 $

Sumamos al resto del numerador:

$ (8.66 - j5) + (3 - j4) = \mathbf{11.66 - j9} $

Para la división final, pasamos esto a polar:

$ r = \sqrt{11.66^2 + (-9)^2} = 14.73 $

$ \theta = \tan^{-1}(-9/11.66) = -37.66^\circ $

Numerador: $ \mathbf{14.73 \angle -37.66^\circ} $

Paso 3: Denominador (Multiplicar)

Pasamos ambos términos a polar para multiplicarlos fácilmente:

$ 2 + j4 \rightarrow r=\sqrt{2^2+4^2}=4.47, \theta=\tan^{-1}(4/2)=63.43^\circ $

$ 3 + j5 \rightarrow r=\sqrt{3^2+5^2}=5.83, \theta=\tan^{-1}(5/3)=59.04^\circ $

Multiplicamos magnitudes y sumamos ángulos:

$ (4.47 \times 5.83) \angle (63.43^\circ + 59.04^\circ) $

Denominador: $ \mathbf{26.07 \angle 122.47^\circ} $

Paso 4: División Final

Dividimos magnitudes, restamos ángulos (Numerador - Denominador):

$$ \frac{14.73 \angle -37.66^\circ}{26.07 \angle 122.47^\circ} = \left(\frac{14.73}{26.07}\right) \angle (-37.66^\circ - 122.47^\circ) $$

$ 0.56 \angle -160.13^\circ $

(Equivalente a $0.56 \angle 199.86^\circ$ sumando 360°)

Ubicación Espacial: El resultado final $0.56 \angle -160.13^\circ$ se ubica en el Tercer Cuadrante (moviéndose hacia la izquierda en el eje real y hacia abajo en el eje imaginario).

Transforme la siguiente senoide al dominio fasorial:

$ i = 6 \cos(50t - 40^\circ) \text{ [A]} $

Solución Directa

Como la función ya está expresada en términos de un coseno positivo, la conversión es directa. Simplemente tomamos la amplitud (magnitud) y el ángulo de fase, descartando la frecuencia $50t$.

$ \mathbf{I} = 6 \angle -40^\circ \text{ [A]} $

Vector de longitud 6, posicionado en el Cuarto Cuadrante a -40 grados respecto al eje horizontal positivo.

Transforme esta senoide en su forma fasorial:

$ v = -4 \sin(30t + 50^\circ) \text{ [V]} $

Paso 1: Identificar el problema

Para extraer un fasor, el estándar exige usar la función coseno y debe ser positiva. Aquí tenemos un seno negativo.

Paso 2: Usar identidad trigonométrica

Sabemos que: $ -\sin(\theta) = \cos(\theta + 90^\circ) $. Sumamos 90° a nuestro ángulo interno.

$ v = 4 \cos(30t + 50^\circ + 90^\circ) $

$ v = 4 \cos(30t + 140^\circ) $

Paso 3: Extraer el fasor

Ahora que tenemos amplitud positiva y función coseno, extraemos magnitud y fase.

$ \mathbf{V} = 4 \angle 140^\circ \text{ [V]} $

Este fasor de voltaje "apunta" hacia el Segundo Cuadrante del plano complejo (140 grados).

Halle la senoide representada por el fasor:

$ \mathbf{I} = -3 + j4 \text{ [A]} $

Cálculo de Magnitud (r)

Usamos el Teorema de Pitágoras.

$$ r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} $$

$$ r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Cálculo del Ángulo (θ)

Calculamos la tangente inversa de (y/x).

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{-3}\right) = -53.13^\circ $$

¡Ajuste espacial!

Como $x=-3$ (negativo) y $y=4$ (positivo), estamos en el 2do cuadrante. Sumamos 180°.

$$ \theta = -53.13^\circ + 180^\circ = 126.87^\circ $$

Dominio del Tiempo

Con $r=5$ y $\theta=126.87^\circ$, escribimos la ecuación asumiendo frecuencia $\omega$:

$ i(t) = 5 \cos(\omega t + 126.87^\circ) \text{ [A]} $

Halle la senoide representada por el fasor:

$ \mathbf{V} = j8 \angle -20^\circ \text{ [V]} $

(Nota: $e^{-j20^\circ}$ es lo mismo que escribir el ángulo polar $\angle -20^\circ$)

Interpretación del operador "j"

Multiplicar por $j$ significa gráficamente girar 90° positivos. Matemáticamente, el número puramente imaginario $j$ equivale a un fasor con magnitud 1 y ángulo 90°:

$ j = 1 \angle 90^\circ $

Realizar la multiplicación

Sustituimos la "j" por su equivalente polar y multiplicamos por el resto del fasor.

$ \mathbf{V} = (1 \angle 90^\circ) \times (8 \angle -20^\circ) $

Multiplicamos las magnitudes ($1 \times 8$) y sumamos los ángulos ($90^\circ - 20^\circ$).

$ \mathbf{V} = 8 \angle 70^\circ $

Dominio del Tiempo

Pasamos el fasor final a su forma senoidal en el tiempo.

$ v(t) = 8 \cos(\omega t + 70^\circ) \text{ [V]} $

Determine la corriente $i(t)$ sabiendo que:

$$ 4i + 8 \int i dt - 3\frac{di}{dt} = 50 \cos(2t + 75^\circ) $$

Paso 1: Convertir al Dominio Fasorial

Aplicamos las reglas de transformación fasorial, notando que la frecuencia de excitación es $ \omega = 2 $:

Variable $ i \rightarrow \mathbf{I} $
Integral $ \int \rightarrow \frac{1}{j\omega} = \frac{1}{j(2)} = -j0.5 $
Derivada $ \frac{d}{dt} \rightarrow j\omega = j(2) $
Fuente constante $ 50 \cos(2t + 75^\circ) \rightarrow 50 \angle 75^\circ $

Paso 2: Sustituir en la Ecuación

$$ 4\mathbf{I} + \frac{8\mathbf{I}}{j2} - 3(j2)\mathbf{I} = 50 \angle 75^\circ $$

Sabemos que $ \frac{1}{j} = -j $. Simplificamos términos:

$$ 4\mathbf{I} - j4\mathbf{I} - j6\mathbf{I} = 50 \angle 75^\circ $$

Paso 3: Agrupar y Despejar I

$$ \mathbf{I} (4 - j10) = 50 \angle 75^\circ $$

Pasamos a polar el término entre paréntesis para poder dividir:

$ r = \sqrt{4^2 + (-10)^2} = \sqrt{116} = 10.77 $

$ \theta = \tan^{-1}(-10/4) = -68.2^\circ $

El término se convierte en $10.77 \angle -68.2^\circ$. (Que es igual a 291.8° sumando 360°).

Despejamos:

$$ \mathbf{I} = \frac{50 \angle 75^\circ}{10.77 \angle -68.2^\circ} $$

Resultado Final

Dividimos magnitudes y restamos ángulos del denominador al numerador ($75^\circ - (-68.2^\circ)$):

$ \mathbf{I} = 4.64 \angle 143.2^\circ \text{ [A]} $

En el dominio del tiempo:

$ i(t) = 4.64 \cos(2t + 143.2^\circ) \text{ [A]} $

Estudio de Fasores

Comprendiendo los Números Complejos

Forma Rectangular

Forma Polar

Conversiones entre ambas formas

Rectangular a Polar (Teorema de Pitágoras)

Polar a Rectangular (Trigonometría)

Operaciones y Propiedades Especiales

Resta (Rectangular)

División (Polar)

Inverso (1/z)

Raíz Cuadrada

Conjugado (*)

Cálculo en el Dominio Fasorial

Derivada

Integral

Identidades Trigonométricas Clave

Simulador de Plano Complejo

Forma Rectangular

Forma Polar

Resolución Paso a Paso

Paso 1: Resolver el Conjugado (*)

Paso 2: Numerador (Convertir y Sumar)

Paso 3: Denominador (Multiplicar)

Paso 4: División Final

Solución Directa

Paso 1: Identificar el problema

Paso 2: Usar identidad trigonométrica

Paso 3: Extraer el fasor

Cálculo de Magnitud (r)

Cálculo del Ángulo (θ)

Dominio del Tiempo

Interpretación del operador "j"

Realizar la multiplicación

Dominio del Tiempo

Paso 1: Convertir al Dominio Fasorial

Paso 2: Sustituir en la Ecuación

Paso 3: Agrupar y Despejar I

Resultado Final